Pourquoi 1 n'est-il pas classifié comme étant un nombre premier?

[AC*]

Bonjour,

Je suis actuellement sur des travaux plus fondamentaux que mes traductions du philosophe Miles Mathis que j’estime tant, c’est clair;
sur le point de finaliser ma proposition de dixième forme de données normale (oui, neuf précèdent - malgré la numérotation à décimales) jusqu’à l’orthographe (c’est dire!) après 2 jours oeuvrés,
je m’attaque maintenant à la notion selon laquelle (tel que le suggère ma question ouverte en titre) 1 devrait être un nombre premier.

-J’aimerais éviter de tomber dans des conventions comme dans les mondanités, donc serai heureux d’avoir l’avis de quelqu’un comme M’enfin.
Beans peut aussi s’exprimer, à condition de donner son propre point de vue. J’aimerais éviter de tomber dans des répliques du type «Le monde wikipediesque le dit», à moins de quelque chose de vraiment croustillant ou hors des sentiers battus, au moins dans un premier temps, ou faute d’avis personnel (en accord, désaccord, ou entièrement différent).

-Afin d’éviter d’entamer une discussion [Que pour/Que contre], j’aimerais que les membres puissent exposer leur angle de vue - moi exposant mes concepts - qui concordent entre eux-mêmes - seulement à partir du 3ème message de ce fil, ma proposition de correction étant déjà échafaudée en large partie (même si brève dans le texte).
En écrivant, je souhaite quand-même vous fournir un argument y conjoint:

• gestion par les ordinateurs des algorithmes fondés sur ou cherchant les nombres premiers (hors cryptages dépendants du temps), alors que leur base fondamentale - deux - est être composée de pondérants censés être non-premiers (un, et zéro ce que j’admets quant à celui-ci). Il ne s’agit toutefois pas du centre de la problématique, ma construction étant quand-même un tantinet plus théorique, quoique.
  

-Merci pour votre participation à venir.

[Bulle]

Désolée AC, mais sur ce forum ce n'est pas toi qui impose tes conditions. Tout un chacun se trouve donc de facto autorisé à s'exprimer, que cela te convienne ... ou pas !

[dedale]

je m’attaque maintenant à la notion selon laquelle (tel que le suggère ma question ouverte en titre) 1 devrait être un nombre premier.

Si tu fais de 1 un nombre premier, alors le processus de réduction ne s'arrête jamais : 1 = 1x1 = 1x1 = ... (à l'infini).

Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers ... pourvu que l’on considère que deux telles décompositions sont identiques si l’on peut passer de l’une à l’autre par permutation des facteurs. (Quillet)
Ex = 12 = 2 x (2x3) ou 3 x (2x2)
- Si je rajoute 1 en tant que nombre premier, le théorème devient faux.
Ex : 12 = 1 x 12 -> pas de réduction (décomposition). 12 est divisible par 2,3,4,6 et donc la composition avec 1 laisse 12 sans réduction.

Or si je prend les définitions :
1 - Un nombre naturel est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
2 - Un nombre naturel est premier s’il est plus grand que 1 et qu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.
3 - Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble {2,3,4,5,...} qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

Dans 12 = 1x12, 12 peut être décomposé par 2 autres éléments indécomposables ( ex : 2 x (3x2) ). Et donc la réduction n'obéit pas au théorème : En d'autres termes, 1x12 n'est pas une réduction. Le nuage reste un nuage, mais il n'est pas réduit à ses éléments premiers (les molécules d'eau).

Je ne vois pas très bien comment tu peux intégrer 1 tout en obéissant au théorème.

[Bean]

Par définition: un nombre premier est un nombre naturel divisible par seulement deux nombres, par lui-même et par l'unité.

Le et est ici exclusif, le nombre premier (lui-même) n'est donc pas l'unité. p premier si [ p <> 1 ; p/p = 1 ; p/1 = p ;  p/n => (n=1 ou n=p) ]

Concernant le zéro, il est divisible par l'unité mais pas par lui-même. 0 premier si  [ 0 <> 1 ; 0/0 (indéfini) ; 0/1 = 0 ; 0/n => n=1 ] => faux
Et bien sûr pour 1 il est divisible par lui-même qui est aussi l'unité donc: 1 premier si [ 1 <> 1 (faux)  ; 1/1 = 1 ; 1/1 = 1 ; 1/n => n=1 ] => faux

Une autre définition des nombres premiers:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

Dans cette autre définition, si 1 appartient à l'ensemble P alors tout élément de P peut se décomposer avec lui-même et 1 comme termes du produit, ce qui contredit la définition.
En conséquence 1 n'est pas un élément de l'ensemble P.

[Bean]

Pour élever un peu le débat, on pourra tenter de prouver la conjecture de Goldbach :" Tout nombre entier plus grand que 2 s’écrit comme somme d’au plus trois nombres premiers".

Elle a été prouvée par Harald Helfgott en 2013 pour les nombres impairs, reste à la prouver pour les nombres pairs.

[AC*]

Désolée AC, mais sur ce forum ce n'est pas toi qui impose tes conditions. Tout un chacun se trouve donc de facto autorisé à s'exprimer, que cela te convienne ... ou pas !

J'en conviens tout-à-fait; le terme de condition était plus une expression pour signifier une invitation soutenue.

-D'ailleurs tu l'as mentionné: à s'exprimer; (d'ailleurs, à ma connaissance, la mention d'un site tiers tel que forum tiers, requiert une autorisation expresse).

[AC*]

Définition de [premier] que je vous propose:
Divisibilité du nombre uniquement par les nombres [lui-même] et [un].

---

je m’attaque maintenant à la notion selon laquelle (tel que le suggère ma question ouverte en titre) 1 devrait être un nombre premier.

Si tu fais de 1 un nombre premier, alors le processus de réduction ne s'arrête jamais : 1 = 1x1 = 1x1 = ... (à l'infini).

-À partir du moment où vous le notifiez ainsi, il s'agit non d'une "réduction", mais d'une amplification (multiplication, plus exactement), étant donné que vous prenez le libre choix d'étendre ainsi votre notation.
On l'ignore souvent, ou le plus généralement l'omet-on, mais: le processus de calcul a des chances d'aboutir pour autant que l'écriture soit correcte.

-D'ailleurs, ce que vous mettez en évidence est un gros problème des maths; alors que la simplification est légitime, l'ajout d'informations est indubitablement (selon moi) puisqu'elles n'en sont plus (entendues comme issues de l'univers - sauf que le retour de manivelle donne pseudo-autorité à certaines communautés de spécialistes de "dire comment faire en cas de fin du monde" (ce que je mentionne ainsi exprès pour schématiser)).

Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers ...

-Ce qu'il conviendrait de mentionner en premier, à savoir: la Définition.

Sur un forum de philosophie anglo-saxon (que je ne mentionne pas explicitement), le premier répondant m'a donné la juste définition, à savoir:

La divisibilité par 1 et par lui-même seulement, (donc pour un nombre entier).

-Si vous essayez une définition semblable-quoique-différente (paraphrase), vous faites une circonlocution, qui engendrera le plus probablement une incohérence, au pire, ou tout au moins une redondance, noyant l'information.

De plus, le problème de votre définition de circoncolution, est qu'avec:
se décompose d’une unique manière comme produit de, la plupart des gens ne vont pas comprendre. Par contre, si vous explicitez une: composition, la plupart vont comprendre - sauf que vous êtes clairement plus du tout dans l'analyse de la divisibilité.

Ceci est plus une question de forme, mais la forme n'est jamais complètement distincte du fond.

pourvu que l’on considère que deux telles décompositions sont identiques si l’on peut passer de l’une à l’autre par permutation des facteurs.

(Quillet)
Ex = 12 = 2 x (2x3) ou 3 x (2x2)

-Clairement faux, (à mon avis). La multiplication est commutative, quels que soient les nombres réels dont naturels invoqués - y inclus: 1*7 = 7*1.

-Vouliez-vous mentionner une permutation de(s) opérateur(s)? -de toute façon, il s'agit là de: *, et il n'y en a pas d'autre, (donc si c'est cela: ne peut être permuté).

-Je peux concevoir:
"2 * 3 * 4 * 5
=
2 * 4 * 3 * 5" comme étant à éviter,
mais ça me semblerait plus brasser du vent, comme argument, et en particulier trop large-d'interprétation pour qualifier un quelconque nombre premier, même si c'était par le contre-exemple (ça laisserait trois facteurs comme étant une possibilité, ce qui est clairement proscrit par la définition restrictive et naturelle).

-De plus, l'exemple que vous avez donné revient juste à un déplacement de parenthèses sur deux opérations sans priorité (vu qu'elles sont du même type):
"(2 * 2) * 3
= 12 =
2 * (2 * 3)", mais cela développe une explication pour ce qui n'est pas premier. Et sachant que les nombres premiers sont jusqu'aujourd'hui imprévisibles, dans leur apparition (en suite qui n'en est donc pas vraiment une), développer les autres me paraît non satisfaisant, et donc non-requis. Mais merci pour votre effort.

- Si je rajoute 1 en tant que nombre premier, le théorème devient faux.

'Y a un théorème, maintenant, qui est intervenu? -On a oublié de l'intituler; désolé.

Ex : 12 = 1 x 12 -> pas de réduction (décomposition).

Ben non, et dans 12 = 2 * 6, on a étendu l'expression par deux opérandes intercalées d'un opérateur. Je n'y vois pas vraiment de décomposition non plus (et contre moins de réduction - premier terme invoqué (le forum n'est pas très adepte des glissements - de la terminologie, en l'occurrence, mais je ne vous en veux pas plus que ça)).

-C'est pas possible, d'appliquer la définition telle qu'elle?

12 est divisible par 2,3,4,6 et donc la composition

-On passe de la décomposition à la composition; tiens-tiens. Nos céphalées en perspective, après deux heures de pratique!

avec 1

-Je ne sais pas ce que veut dire "composition avec un". -Oui, je puis "deviner", me dire qu'un truc est l'"inverse" de l'autre, puis l'opposé, mais avec ce genre de processus, l'on pave l'enfer.

laisse 12 sans réduction.

-Ouh là... sans réduction, je suppose que ça veut dire sans reste, sans complément - sinon, je ne sais pas. "Sans "moins de choses"" me paraît vraiment une expression ésotérique.

Or si je prend les définitions :
1 - Un nombre naturel est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.

On n'aurait pas dû commencer par ça, ...par hasard?

2 - Un nombre naturel est premier s’il est plus grand que 1 et qu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.

Qui est donc une spécification de la définition précédant, pour cas particulier, (qu'il conviendrait de noter 1.a).

3 - Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble {2,3,4,5,...} qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

La "définition" 3, (qui est clairement la No 2, selon ma précédente parenthèse), est carrément fausse, puisque le nombre lui-même est inclus dans l'ensemble défini par les accolades.

Dans 12 = 1x12, 12 peut être décomposé par 2 autres éléments indécomposables ( ex : 2 x (3x2) ).

Sympa, mais le thème concerne plus les nombres premiers (définition basique), que les règles applicables aux autres; cela me paraissait clair. Si c'est ma faute de vous avoir induit en erreur, je vous prie de m'excuser.

Et donc la réduction n'obéit pas au théorème :

(lequel? -tout votre message?)

En d'autres termes, 1x12 n'est pas une réduction.

2 * 6 non-plus, selon ce que je réponds précédemment.

Le nuage reste un nuage, mais il n'est pas réduit à ses éléments premiers (les molécules d'eau).

-Et la feuille n'est pas une feuille, enfin si - par contre, une représentation n'est pas l'objet (maths/réalité, p. ex.).

Je ne vois pas très bien comment tu peux intégrer 1

-Je ne pense pas du tout à l'intégration, mais à la divisibilité (cf. réplique juste ci-dessous).

tout en obéissant au théorème.

-J'obéis à la définition essentielle, soit: votre point No 1 sans spécification en [a]. Maintenant, je vois que vous en étiez au courant (de cette définition - je cherchais désespérément quelqu'un avec qui en discuter sans la lui imposer).

-Je vous remercie de vos efforts. J'espère que je n'ai pas décomposé votre message plus que nécessaire - mais il m'était vital de prendre du temps, on va dire, pour les "coquilles".

[AC*]

Par définition: un nombre premier est un nombre naturel divisible par seulement deux nombres, par lui-même et par l'unité.

Merci Bean. J'approuve la mise en évidence. Et tu as proposé d'entrée une définition. Bravo.

Le et est ici exclusif,

-la notion de et exclusif n'a, selon la logique, pas de signification - ou alors c'est exclusif vis-à-vis du reste de possibilité de combinaison (ce qui est faux, vu que le et est déjà inclus dans le ou).

le nombre premier (lui-même) n'est donc pas l'unité.

-Je vois pas le rapport de cause à effet, à ce stade. Déduction certainement prématurée.

p premier si [ p <> 1 ; p/p = 1 ; p/1 = p ;  p/n => (n=1 ou n=p) ]

-si et seulement si. Sans quoi ce n'est pas une définition, mais une déduction, de droit à gauche. Doute aussi sur l'implication (dont ses cause et conséquence) entre crochets.

-Pourquoi Ciel p doit-il être différent de 1 ?!?
Tu te rends compte? -tu réponds un message avec beaucoup de lignes, alors que tu réponds ton avis à la quatrième ligne, déjà.

Concernant le zéro, il est divisible par l'unité mais pas par lui-même.

-En France, j'ai remarqué que vous adoriez les mots en plus; et en francophonie, l'on adore la dialectique. Le développement des cas non-assujettis à la notion de [premier] devrait venir de manière bien ultérieure. C'est possible de développer le sens direct?

0 premier si  [ 0 <> 1 ; 0/0 (indéfini) ; 0/1 = 0 ; 0/n => n=1 ] => faux

-Merci pour l'effort, mais j'ai toujours pas compris ce qu'est ton "/n", à part la barre; tu n'as pas défini "n" au préalable; je suis sérieux.

Et bien sûr pour 1 il est divisible par lui-même qui est aussi l'unité donc: 1 premier si [ 1 <> 1 (faux)  ; 1/1 = 1 ; 1/1 = 1 ; 1/n => n=1 ] => faux

-Même remarque que précédemment quant à "n" et à ton implication.

Une autre définition des nombres premiers:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

-Ca, j'accepte.
Ex.: 3.
3 = 3 * 1.
(3; 1) ne sont pas "deux autres élément de cet ensemble (P)", car 3 est commun.

Dans cette autre définition, si 1 appartient à l'ensemble P alors tout élément de P peut se décomposer avec lui-même et 1 comme termes du produit, ce qui contredit la définition.

-Vérifions!
1 = 1 * 1.
(1; 1) n'est pas "deux autres éléments de l'ensemble". Ca semble valide, mais la définition impose une circonlocution sur la définition naturelle, qui propose quant à elle une propriété (d'opération) suffisante - ce qui n'est pas le cas de (ta) "nouvelle" définition, vu qu'elle ne propose aucune propreté opératoire.

, Merci.

[AC*]

Pour élever un peu le débat, on pourra tenter de prouver la conjecture de Goldbach :" Tout nombre entier plus grand que 2 s’écrit comme somme d’au plus trois nombres premiers".

Elle a été prouvée par Harald Helfgott en 2013 pour les nombres impairs, reste à la prouver pour les nombres pairs.

-Je vois pas en quoi cet égarement élève un débat (d'autant que je ne t'ai pas encore répondu à la date de ton 2ème message); tout au mieux l'esprit, ...une fois que j'aurais lu sa publication.

-"Prouver" est un abus de language, de la part des mathématiciens. Dans leur jargon, l'on "démontre". ...À moins que cela ait été validé par un jury connaissant le language naturel comme il se doit (ce que j'espère) ?

[AC*]

Coucou!

-J'ai aussi fait des erreurs inopportunes et involontaires:

mes mots "contre" et "propreté opératoire", sont respectivement à remplacer par:
Encore, et par Propriété opératoire.

---

J'avais promis d'exposer mes concepts. C'est fait, au cas où, pour la définition (que je suggère, en réponse à Dédale); en bref: si la définition a la divisibilité pour mot-clé, alors il faut tester avec des divisions. On peut considérer que la multiplication est "juste" l'inverse; bref: la blanc commence à jaunir, on estime qu'il tend vers le noir... Je ne suis pas adepte de ce type de jeu.

-Concernant les ordinateurs, je précise ma remarque via une illustration:
Si le mur des nombres, premiers, est composé de briques (1 et 0) dont aucune n'est un nombre premier - alors que les nombres premiers (en base dix, au moins) sont plus condensés sous la base, qu'en dessus, alors
nous obtenons une incohérence, assez... délirante (je trouve).

-Bien-entendu, les mathématiciens vont dire "C'est juste une traduction des nombres dans une autre base" - sauf que la traduction n'est pas fidèle; en un mot: fausse.

1 doit être premier, afin de recouvrer la consistence des algorithmes.

-Un de ces mathématiciens va me dire: "Le retrait du 1 des premiers, est juste comme si on l'avait fait pour les impairs";
dans le cas des impairs, cela décale toute la suite selon deux écarts en naturels.

Mais pour les nombres premiers, à apparition manifestement aléatoire (en terme de fréquence, pas d'application de la définition), cela peut rendre l'écart en exponentiel, avec une erreur/taux d'erreurs - ou tout au moins un temps de calcul - sur-multiplié pour le calcul de nombres premiers plus grands.

---

N. B.: Un paradoxe illustratif:
Un algébriste des ensembles s'est demandé: "L'ensemble de tous les ensembles est-il un ensemble?", d'où il a tiré un paradoxe de gamins. Si j'écris "le blanc est noir, qui est le contraire du premier", j'obtiens aussi un paradoxe.

1. L'ensemble de tous les ensemble n'existe pas, étant donné que l'ensemble ne se contient pas lui-même (tout seul) - donc la question se répond toute seule implicitement, par la négative;
   
   
   
   1. Tous les ensemble n'existent pas non plus. La notion d'exister signifie une durabilité. Alors que "Tous les ensembles" n'a aucune durabilité; des éléments s'y ajoutent d'instant en instant.
      
   
   
   

En ce qui concerne ce type de questions (tout au moins), une rédaction linéaire fait foi.

---

La réponse à la question de savoir si un ensemble peut être contenu par lui-même, peut être positive, dans le monde réel (p. ex.: j'ai deux cubes rouge - est-ce que cet ensemble est contenu en lui-même? -oui).

Ca signifie qu'il va falloir exploser le carcan des mathématiciens. Pourquoi? -À cause de leur notation. D'après leur règle générale, les accolades externes ne sont pas du contenu (jusqu'ici: conceptuellement cohérent); sauf que dans leur usage pour l'ensemble vide, cela devient le cas (problème); voici comment il prétendent que l'Homme des cavernes a réellement appris le calcul en entiers (ce que je mentionne ironiquement, pour schématiser leur problème):
Ø
{Ø}
{Ø; {Ø}}
-qui correspondent donc - lorsque-on en prend la cardinalité - à:
0
1
2
.
-On voit que les accolades externes font tout-à-coup partie du contenu sémantique: car elles le modifient entre Ø, et {Ø}, ce qui est indu.

-Dans la réalité, {} constituent juste une notation pour séparer du reste du texte, ou du contexte. Mais il n'y a aucune différence entre Ø et {Ø}. Auquel cas l'on répondra - dans la réalité - qu'un ensemble peut-être contenu par lui-même. On pourrait demander encore ce que veut vraiment dire contenu par (plutôt que contenu en, ici) - mais si on veut parer vers le plus simple, qui est souvent le plus juste, on se réfère aux objets réels et à la vue qu'on en a.

-Bref; il s'agit ci-dessus du genre de problèmes ayant mené une école comme celle des Bourbakis (tentative de re-construction des maths) à l'échec.

[Bean]

Merci pour l'effort, mais j'ai toujours pas compris ce qu'est ton "/n", à part la barre; tu n'as pas défini "n" au préalable; je suis sérieux.

Simple question de notation (non définie explicitement au départ mais commune et courament employée):

"/" (la barre) est le symbole de la division, dans l'ensemble des nombres entiers naturels dont il est ici implicitement question (l'ensemble P des nombres premiers (notés p) étant un sous ensemble de N entiers naturels (notés n) ). Dans cet ensemble N, la division est entière.

"n" élément de l'ensemble N des entiers naturels.

[Bean]

-la notion de et exclusif n'a, selon la logique, pas de signification - ou alors c'est exclusif vis-à-vis du reste de possibilité de combinaison (ce qui est faux, vu que le et est déjà inclus dans le ou).

Le langage mathématique est une extension de la logique.
Le "et" exclusif au sens mathématique répond aux conditions suivantes:
(a et b) est vrai ; si (a vrai) et (b vra) et (a <> b)

Autrement dit:
(a et a) est faux dans ce cas

[Bean]

-si et seulement si. Sans quoi ce n'est pas une définition, mais une déduction, de droit à gauche.

Le seulement si était défini par  p/n => (n=1 ou n=p)

Je rectifie en ssi:
p premier ssi [ p <> 1 ; p/p = 1 ; p/1 = p ;  p/n => (n=1 ou n=p) ]
Mais dans ce cas p/n => (n=1 ou n=p) est redondant puisque cette condition est la garantie que p est pas divisible par un autre nombre entier naturel n que lui-même ou 1.

donc:
p premier ssi [ p <> 1 ; p/p = 1 ; p/1 = p ]

le premier nombre n'est toujours pas un nombre premier.

[Bean]

Une autre définition des nombres premiers:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

-Ca, j'accepte.
Ex.: 3.
3 = 3 * 1.
(3; 1) ne sont pas "deux autres élément de cet ensemble (P)", car 3 est commun..

Désolé, c'est une erreur de ma part dans la définition, erreur qui enlève le caractère atomique et irréductible d'un nombre premier par le produit de deux nombres premier.

L'exacte définition est:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux éléments de cet ensemble.

[AC*]

Le langage mathématique est une extension de la logique.

Ça, c'est toi qui le dis...

La tentative de Russel à étendre la logique en mathématique - continûment - a échoué de manière abjecte. (Vu le temps qu'il a passé dessus).

-Il n'avait pas compris que les mathématiques qu'il utilisait avait déjà subi les aléas des autres lui ayant précédé - alors que ceux-ci étaient indépendants de la logique.

Tel que je le montre plus haut, les maths sont 95% de notation, (4% de grammaire - agencement entre les notations), et en cardinal: 1% de séparation d'avec la réalité faisant flancher les 99% d'avant - imbuvable que l'on ait à fonder une seule science sur ce type de déconnexion erronée.

-Selon moi, la logique est juste ce que l'on trouve pour construire un language naturel - et si les maths ne sont pas naturelles à quelqu'un, celui-ci fait alors mieux de choisir un autre métier en attendant que ces Ecritures (re-)deviennent cohérentes, ou que l'on prenne de le temps de le faire soigneusement.

---

-Quelqu'un dixit:
"Il semble que personne n'avait soupçonné mes performances;
toutes mes interventions m'ont fait bondir dans le classement."

-"un bond en arrière, tu veux dire".

-C'était juste pour une blague.

[AC*]

Une autre définition des nombres premiers:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux autres éléments de cet ensemble.

-Ca, j'accepte.
Ex.: 3.
3 = 3 * 1.
(3; 1) ne sont pas "deux autres élément de cet ensemble (P)", car 3 est commun..

Désolé, c'est une erreur de ma part dans la définition, erreur qui enlève le caractère atomique et irréductible d'un nombre premier par le produit de deux nombres premier.

Je te pardonne, mes la demande d'excuses est en l'occurrence une erreur encore pire:

L'exacte définition est:
Les nombres premiers sont les éléments de l’ensemble P qui ne peuvent pas se décomposer en produit de deux éléments de cet ensemble.

-ta nouvelle donnée exclut aussi le nombre lui-même et 1, et en devient plus erronée que ta donnée précédent. Ne soit pas impressionné par la lettre [p] en majuscule.

[Bean]

La tentative de Russel à étendre la logique en mathématique

Etendre la logique aux mathématiques n'est pas synonyme de "le langage mathématique est une extension de la logique" mais c'est le cheminement contraire.
Si Russel a échoué en voulant étendre le langage de la logique en y intégrant les mathématiques, c'est que les mathématiques vont au delà de la logique.

[AC*]

La tentative de Russel à étendre la logique en mathématique

Etendre la logique aux mathématiques n'est pas synonyme de "le langage mathématique est une extension de la logique" mais c'est le cheminement contraire.

Absolument pas. Toi, tel un enfant innocent, tu lis les caractères de gauche à droit. La notion d'étendre n'a, par définition, qu'un unique sens. Lorsque tu écris: "les maths sont une extension de la logique", c'est exactement le même sens temporel (ou: de processus); c'est seulement toi, qui a décidé d'écrire de manière anti-chronologique. Ce que j'évite de faire, pour l'agrément du lecteur.

Si Russel a échoué en voulant étendre le langage de la logique en y intégrant les mathématiques, c'est que les mathématiques vont au delà de la logique.

-L'expression "C'est que" dénote très explicitement l'ignorance - donc vaut mieux éviter de feindre le savoir en cette occurrence.

-Personne n'a parlé d'intégration des maths dedans - cela n'a aucune signification.

-De ta réponse, voici ce que je lis:
"Moi Bean, capte que dalle à la logique" - ce qui est ton plein droit - par contre
"moi Bean veux l'omnipotence des maths, car elles permettent toujours de discuter, alors je remplace l'action d'étendre par l'action d'intégrer; ça devrait le faire".

C'est ce que je tire de ta réponse, en tous cas.

Pourquoi Ciel seraient-elles au-delà? À partir du moment où la logique telle que je l'ai re-définie, est en phase avec le monde réel, mais que les maths sont là pour discuter à l'envi,
c'est que les maths ne sont pas assez "dures" comme on dit, pour en être "au-delà". Et de toutes façons, ce n'est pas la prétention des mathématiciens. Juste le délire de quelques obturateurs.

-J'arrête là cette discussion avec toi, dialogue qui avait bien commencé.

Et attends l'intervention de personnes plus variées. Inutile de noyer un poisson. Si cela te convient.

[Bean]

-ta nouvelle donnée exclut aussi le nombre lui-même et 1, et en devient plus erronée que ta donnée précédent. Ne soit pas impressionné par la lettre [p] en majuscule.

Difficile d'être plus ignare en effet, elle n'exclut que le nombre 1 et P majuscule est l'ensemble des nombres premiers notées eux-même p minuscules.
Devrais-je noter aussi ac* minuscule ?  

J'arrête là cette discussion avec toi, dialogue qui avait bien commencé.

C'est trop d'honneur, merci monsieur je sais tout.

[Bulle]

Définition de [premier] que je vous propose:
Divisibilité du nombre uniquement par les nombres [lui-même] et [un].

Sauf que pour qu'un nombre puisse être qualifié de premier il faut qu'il soit > que 0, entier et divisible par deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Ce qui fait que 1 ne peut pas être qualifié de nombre premier.

[Bean]

... et divisible par deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Ce qui fait que 1 ne peut pas être qualifié de nombre premier.

Eh, oui ! Bulle, nous sommes tous d'accords (sauf un) mais on ne fera jamais boire un âne qui n'a pas soif.

[Bean]

Selon moi, la logique est juste ce que l'on trouve pour construire un langage naturel

Les langages "naturels" ne servent qu'a communiquer et la logique n'en est pas le fondement. C'est la richesse de certains langages et l'intelligence d'abstraction qui ont été les premiers fondements humains du raisonnement rigoureux qui est ensuite devenu une forme naturelle de logique. D'autres logiques plus abstraites se sont ensuite formées et enrichies. Les mathématiques dépassent le cadre stricte de la logique dite "naturelle", les concepts mathématiques sont trop abstraits pour être évalués par une logique simple, aussi naturelle soit elle.

[Cochonfucius]

Par exemple, un nombre ayant un carré négatif semble contraire au bon sens, mais il est très utile (et naturel) en arithmétique, et donc en géométrie analytique ainsi qu'en trigonométrie.

[Bean]

Tout à fait, si les mathématiques en étaient restées à la logique "naturelle", les nombres n'auraient servi qu'à dénombrer des quantité et seuls les entiers naturels positifs auraient été utilisés. Pas besoin de zéro ni de nombre négatif qui ne représentent pas des quantités, encore moins des nombres réels ni des nombres complexes.

[dedale]

Si tu fais de 1 un nombre premier, alors le processus de réduction ne s'arrête jamais : 1 = 1x1 = 1x1 = ... (à l'infini).

-À partir du moment où vous le notifiez ainsi, il s'agit non d'une "réduction", mais d'une amplification (multiplication, plus exactement), étant donné que vous prenez le libre choix d'étendre ainsi votre notation.

C'est une tentative de réduction qui échoue parce qu'elle conduit à une boucle sans fin.

On l'ignore souvent, ou le plus généralement l'omet-on, mais: le processus de calcul a des chances d'aboutir pour autant que l'écriture soit correcte.

Je ne demande qu'à voir.

Tout entier naturel se décompose d’une unique manière comme produit de nombres premiers ...

Sur un forum de philosophie anglo-saxon (que je ne mentionne pas explicitement), le premier répondant m'a donné la juste définition, à savoir:

La divisibilité par 1 et par lui-même seulement, (donc pour un nombre entier).

-Si vous essayez une définition semblable-quoique-différente (paraphrase), vous faites une circonlocution, qui engendrera le plus probablement une incohérence, au pire, ou tout au moins une redondance, noyant l'information.

Il n'y a pas de circonlocution, j'explique en 3 phases. La question est de savoir si 1 est un nombre premier (oui/non), donc il y a forcément un pourquoi.
Vu qu'il n'y a aucune démonstration particulière de ta part, la question reste entière et je ne suis pas devin - donc obligé de développer depuis la base tout en étant soucieux du pourquoi.

De plus, le problème de votre définition de circoncolution, est qu'avec:
se décompose d’une unique manière comme produit de, la plupart des gens ne vont pas comprendre. Par contre, si vous explicitez une: composition, la plupart vont comprendre - sauf que vous êtes clairement plus du tout dans l'analyse de la divisibilité.

Ah bon? Si on comprend pas, il suffit de me poser des questions.
C'est vrai que je ne suis pas théoricien de ce domaine très intéressant, qui tout en étant très loin de ma vie professionnelle s'en rapproche sous de nombreux aspects. Je dois certainement avoir de nombreuses failles dans mes expressions, ou peut être des travers, du fait que mon esprit théoricien et lexical n'est peut être pas aussi pointu que le tien parce que je peux tester en direct la validité d'un algorithme, ce qui me soulage de contraintes théoriques sauf, bien entendu, celles du langage informatique.
Mains encore faut-il que je pige comment et pourquoi.

Ex = 12 = 2 x (2x3) ou 3 x (2x2)

-Clairement faux, (à mon avis). La multiplication est commutative, quels que soient les nombres réels dont naturels invoqués - y inclus: 1*7 = 7*1.

Tu veux peut être parler de la présence des parenthèses.
C'est surement une sale habitude à laquelle je n'avais pas réfléchi : L'habitude de travailler sur des fonctions matricielles qui obligent bien souvent à surdécomposer l'écriture pour des raisons de lisibilité.

Mais étant donné que le résultat est le même, je ne vois pas trop l'intérêt de s'y arrêter.

-Vouliez-vous mentionner une permutation de(s) opérateur(s)? -de toute façon, il s'agit là de: *, et il n'y en a pas d'autre, (donc si c'est cela: ne peut être permuté).

-Je peux concevoir:
"2 * 3 * 4 * 5
=
2 * 4 * 3 * 5" comme étant à éviter,
mais ça me semblerait plus brasser du vent, comme argument, et en particulier trop large-d'interprétation pour qualifier un quelconque nombre premier, même si c'était par le contre-exemple (ça laisserait trois facteurs comme étant une possibilité, ce qui est clairement proscrit par la définition restrictive et naturelle).

Tu te disperses. J'ai très souvent à faire à des matheux. Nos jargons respectifs ne font nullement obstacle à la résolution des problématiques parce que nous allons à l'essentiel.

Revenons aux nombres premiers.

De plus, l'exemple que vous avez donné revient juste à un déplacement de parenthèses

Exactement. J'ai mis ces parenthèses pour bien montrer à tout le monde le sens dans lequel s'opérait la réduction. C'est tout.

mais cela développe une explication pour ce qui n'est pas premier.

Ta question était, je te rappelle : Pourquoi 1 n'est-il pas classifié comme étant un nombre premier?
Cette question concerne "ce qui n'est pas" en sous-entendant peut être que cela devrait l'être.
Ce qui complique la situation puisque il faut chercher à savoir pourquoi ça ne l'est pas et pourquoi ça devrait l'être.

Donc c'est dans un esprit qui ne relève pas à proprement dit des mathématiques mais de l'ontologie, de l'épistémologie, aux fondements, qui s'applique à la logique des maths.
Et vu qu'il n'y a rien en l'état pour déduire que 1 devrait être classifié en tant que nombre premier, on ne peut que tâtonner.

'Y a un théorème, maintenant, qui est intervenu? -On a oublié de l'intituler; désolé.

Pas un seul. Il y a toujours eu depuis des siècles des théorèmes : Théorème d'Euclide des nombres premiers, par exemple, que j'ai appris il y a très longtemps.

Ex : 12 = 1 x 12 -> pas de réduction (décomposition).

Ben non

Ben si, regarde bien. L'exemple est simplissime. Un gosse peut comprendre que la réduction n'opère pas.

et dans 12 = 2 * 6, on a étendu l'expression par deux opérandes intercalées d'un opérateur.

Oui. C'est archi-évident.

Je n'y vois pas vraiment de décomposition non plus (et contre moins de réduction - premier terme invoqué (le forum n'est pas très adepte des glissements - de la terminologie, en l'occurrence, mais je ne vous en veux pas plus que ça)).

Tu n'as absolument aucune raison de nous en vouloir puisque c'est toi qui pose un exemple incomplet : 12 = 2 x 6.
- C'est une réduction partielle, mais quand elle est aboutie, elle donne  : 12 = 2*2*3.

-C'est pas possible, d'appliquer la définition telle qu'elle?

Pas dans un exemple incomplet non.

-On passe de la décomposition à la composition; tiens-tiens. Nos céphalées en perspective, après deux heures de pratique!

Tu connais les math : Tout ce qui est composé peut être décomposé. Je ne sais pas si ça se formule précisément ainsi, mais une chose est sûre, ça s'applique ainsi.

avec 1

-Ouh là... sans réduction, je suppose que ça veut dire sans reste, sans complément - sinon, je ne sais pas. "Sans "moins de choses"" me paraît vraiment une expression ésotérique.

Oui tu as raison, je me suis très mal exprimé et je me suis un peu mélangé les pinceaux.
- 1 n'a qu'un seul diviseur, c'est lui-même. Or un nombre entier en admet 2 qui sont distincts.

On n'aurait pas dû commencer par ça, ...par hasard?

Désolé si j'ai commencé au bout de la 4° ligne.

Qui est donc une spécification de la définition précédant, pour cas particulier, (qu'il conviendrait de noter 1.a).

J'aimerais que tu parles un peu de 1 de temps à autres.

La "définition" 3, (qui est clairement la No 2, selon ma précédente parenthèse), est carrément fausse, puisque le nombre lui-même est inclus dans l'ensemble défini par les accolades.

Quel nombre est inclus?

Sympa, mais le thème concerne plus les nombres premiers (définition basique), que les règles applicables aux autres; cela me paraissait clair. Si c'est ma faute de vous avoir induit en erreur, je vous prie de m'excuser.

Quelles règles applicables aux autres? Sois plus clair.

(lequel? -tout votre message?)

Les théorèmes concernant les nombres premiers, faut les apprendre. Je ne suis pas assez averti pour donner des cours.

2 * 6 non-plus, selon ce que je réponds précédemment.

Quelle est la raison qui te fait t'arrêter à un ersatz de réduction? T'arrive pas à réduire 6?
Si tu daignes faire 2*2*3, alors tout fonctionne.

-Et la feuille n'est pas une feuille, enfin si - par contre, une représentation n'est pas l'objet (maths/réalité, p. ex.).

Une représentation permet de gagner du temps, c'est tout. Faut pas voir ça comme une contrainte.

-Je ne pense pas du tout à l'intégration, mais à la divisibilité (cf. réplique juste ci-dessous).

L'obstacle ou plutôt la condition est que le nombre un n'est divisible que par lui-même, dans l'ensemble des entiers naturels.
Je pense que si tu touches aux nombres premiers, en fait ça t'obliges à revoir également le fondement des mathématiques.
Ce qui est beaucoup de travail pour obtenir en réalité un effet de classification : Pourquoi? Quelle en est la finalité et les bénéfices? Qu'est-ce ça change fondamentalement dans le paradigme des mathématiques, ou qu'est-ce que tu penses en retirer?

Je vous remercie de vos efforts.

Il n'y aucun besoin de me remercier. C'est un domaine dans lequel je ne sais même pas si j'apporte quelque chose.

J'espère que je n'ai pas décomposé votre message plus que nécessaire - mais il m'était vital de prendre du temps, on va dire, pour les "coquilles".

Je pense qu'il manque dans ce débat  les raisons et les finalités.

- 1 n'est pas un nombre premier. ok.
Pourquoi?
Quels problèmes cela pose-t-il?
Qu'est-ce qui justifie qu'on devrait en changer?
Quel est l'intérêt ou l'utilité de tout ça en bref?

C'est une question de logique.

S'il n'y a pas un fil directeur, on va déblatérer indéfiniment et se disperser dans tous les sens

C'est quoi ton truc? Une impulsion ou c'est venu après mûre réflexion?
Tu as besoin que 1 soit un nombre premier? Sinon quoi?

Peut être existe-t-i une autre solution à ton problème. Faut le soumettre, le développer - et on voit.
J'espère que ce n'est pas simplement pour jouer au grand révolutionnaire des sciences, t'as l'air trop intelligent pour ça.
Donc quel est le problème qui te demande un tel travail pour casser les conventions, les principes, des maths et obtenir aussi peu de résultats en perspective?

- Une simple reclassification qui n'arrivera pas à se frayer le moindre chemin dans le paradigme des sciences, surtout si elle n'est pas justifiée.
Voilà.