Parties infinies en maths

[Jkl38]

Bonjour,
Question que je me pose :
Y a t-il en maths un ensemble infini (ou autre chose : classe, etc ...) qui contient une infinité de parties infinies séparées ?
Est-ce que c'est le cas pour le simple ensemble des nombres entiers naturels ?
Merci,

[Cochonfucius]

Pour les entiers naturels :

E1 les nombres pairs ;

E2 les multiples de 3, sauf ceux qui sont pairs :

E3 les multiples de 5,
sauf ceux qui sont multiples
de 2 ou de 3

E4 les multiples de 7 sauf multiples
de 2, 3 ou 5

et ainsi de suite avec 11, 13, 17 et toute la
série (infinie) des nombres premiers.

On obtient donc une infinité
de sous-ensembles disjoints.

[Jkl38]

Ces sous-ensembles disjoints contiennent chacun une infinité d'éléments donc, c'est bien ça ?

[Bulle]

Dans la mesure où dans chacun des sous-ensembles il y a un nombre infini de nombres pairs pour E1 et un nombre infini de nombres impairs pour E2, je crois qu'on peut dire ça oui...

[Cochonfucius]

Une illustration :



(sur chaque ligne,une infinité d'éléments ;
et une infinité de lignes.)

[Bulle]

[Jkl38]

Ok, donc à fortiori cela doit être vrai pour des ensembles plus grands (infinis de Cantor, etc ...).
Merci.

[Jkl38]

Je reviens sur ce sujet : juste pour être sûr que je comprend bien le langage mathématique :
On peux donc parler de ''multiple'' de n'importe quel nombre aussi grand soit-il ?
Est-ce que sur chaque ligne on peut être sûr que chaque nombre ne fait pas partie aussi d'une autre ligne ?
Je suppose que les écarts sont de plus en plus grands sur chacune des lignes allant à l'infini (au dessous).
Merci,

[Cochonfucius]

Multiple: oui, tous les nombres en ont.

Sur une ligne : on y place les nombres qui n'étaient pas sur les précédentes.

Écarts : de plus en plus grands, en effet.