Re: Ensemble infini simple

[_nawel]

Euh!Soit Un la suite défini par Un = x^n/n! (x étant un réél positif fixé (le cas x négatif se traîte de façon analogue))
On a U_{n+1} /Un = x/(n+1) --> 0 quand n --> oo
Donc il existe p dans IN tel que pour tout n>p U_{n+1} /Un < 1, ou encore U_{n+1} < Un. Donc la suite Un est décroissante à partir d'un certain rang. Ainsi Un est convergeante (car décroissante et minorée par 0) et sa limite a est supérieur ou égale à zéro.
Il s'agit maintenant de montrer que a = 0.
Supposons que a>0 (car x>0) alors lim (n->oo) Un = a <==> quelque soit epsilon > 0, il existe un rang N tel que pour tout n>N , -epsilon + a < Un < epsilon + a. En particulier pour epsilon = a/2 > 0, on a : Un > a/2 pour tout n > N
Soit maintenant Sn la suite donnée par la somme des Um, m=0..n
Pour n>N, on a
Sn = somme_{m=1,n} Um = somme_{m=1,N-1} Um + somme_{m=N,n} Um > somme_{m=1,N-1} Um + somme_{m=N,n} a/2 > somme_{m=1,N-1} Um + (n-N+1)a/2

donc lim (n->oo) Sn > lim (n->oo) (n-N+1)a/2 --> oo

Or, d'un autre côté, on sait que lim (n->oo) Sn = exp(x) (c'est le développement limité de la fonction exponentielle). D'où la contradiction. Et donc a = 0 CQFD

non ?

[dedale]

Mais c'est par exemple en contradiction avec la réponse de dedale du 31 Janvier ...

Tu sais, les math sont un produit de la pensée, et donc tout en respectant les règles, on peut avoir différents raisonnements. Surtout si la question n'est pas standard, comme la tienne.
J'ai donc voulu simplifier :
- Si tu divise un ensemble infini par 2 ou le multiplie par 0.5, un ensemble tel que E = 1,1,1,1,1,.... ou d'autres valeurs.
Tu obtiendras E = 0.5,0.5,0.5,,0.5,... E étant toujours infini après la division.

Tu ne peux pas opérer ta division sur l'infini lui-même, à moins que, comme le dit aleph, tu cherches à obtenir 2 "moitiés" indéfinies.
-

[aleph]

Avec



On peut aller très vire en passant par le logarithme




en utilisant l’approximation de Stirling pour les grands nombre.
IL est évident que



et donc




Mais, je ne vois pas le rapport avec le sujet

[_Jean Cérien]

Rappelons que l'addition de tous les nombres entiers positifs ne donne que -1/12. Ce qui est bien loin d'une valeur infinie ....n'est-il pas ?

[aleph]

C'est des maths de zinc de bar, la démonstration repose sur une arnaque qu'il faut accepter.

l'addition des nombres entiers à l'infini est la limite de la somme Sn quand n tend vers l'infini



et c'est l'infini.

(Oui, je sais, je n'ai pas d'humour )

[_Jean Cérien]

C'est des maths de zinc de bar, la démonstration repose sur une arnaque qu'il faut accepter.

De quelle anarque parles tu ?

[aleph]

L'arnaque c'est le début de la démonstration, elle commence ainsi :
A = 1-1+1-1+1..... à l'infini
et de dire ensuite
1-A = A ... ce qui aboutit bien sûr à


Ce qui est absolument faux. En effet, A est une somme alternée dont la limite n'existe pas. car la parité de l'infini n'est pas déterminée.
En clair, si l'infini est un nombre pair, alors A=0 et si l'infini est un nombre impair,alors A = 1.
En aucun cas A ne peut être la moyenne de ces deux valeurs.

Tout le reste de la démo repose sur cette prémisse qui est bien entendu erronée.

c'est ça l'arnaque  

[_Jean Cérien]

...Ce qui est absolument faux. En effet, A est une somme alternée dont la limite n'existe pas. car la parité de l'infini n'est pas déterminée.
En clair, si l'infini est un nombre pair, alors A=0 et si l'infini est un nombre impair,alors A = 1.
En aucun cas A ne peut être la moyenne de ces deux valeurs....

Malheureusement ( pour toi   ) ton raisonnement n'est mathématiquement pas applicable sur la suite alternée proposée.
Pour  information saches que la suite alternée dont il s'agit  : "1 − 1 + 1 − 1 + …" est  appelée aussi série de Grandi.. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, c'est-à-dire la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe bien et elle vaut 1/2.
La démonstration proposée en vidéo s"appuie sur le résultat des travaux de ces 2 matématiciens Grandi et Cesaro.
Crois tu toujours qu'il y ai arnaque dans cette démonstration ? ......si oui laquelle ?

[aleph]

Malheureusement ( pour toi   ) ton raisonnement n'est mathématiquement pas applicable sur la suite alternée proposée.
Pour  information saches que la suite alternée dont il s'agit  : "1 − 1 + 1 − 1 + …" est  appelée aussi série de Grandi.. Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire que la suite de ses sommes partielles n'a pas de limite. Mais sa somme de Cesàro, c'est-à-dire la limite des moyennes de Cesàro de cette même suite, existe bien et elle vaut 1/2.
La démonstration proposée en vidéo s"appuie sur le résultat des travaux de ces 2 matématiciens Grandi et Cesaro.
Crois tu toujours qu'il y ai arnaque dans cette démonstration ? ......si oui laquelle ?

Bien sûr que si voyons.  

A est une limite d’une somme divergente, donc A n’a pas de sens. et perso je m'arrête là.
Si Gandi veut lui en donner un c’est son droit, mais il faut bien spécifier que c'est une limite au sens de césaro
Ce qui limite sa portée.

car si on la prend dans le sens ordinaire, la contradiction est bien là
infini =  (-1/12).

[_Jean Cérien]

....A est une limite d’une somme divergente, donc A n’a pas de sens. et perso je m'arrête là. ...

Ta négation du résultat mathématique montré dans la vidéo est bien naturelle et est aussi partagée par le mathématicien Abel qui disait : [i]"Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. Peut-on penser chose plus effroyable que de dire ".

Le petit hic c'est que ces propos d'Abel  sur les séries divergentes  datent de...1828 ....

....car si on la prend dans le sens ordinaire, la contradiction est bien là
infini =  (-1/12).

Le sens ordinaire n'a pas grande valeur  en mathématique et encore moins lorsqu'il s'agit des suites divergentes.

[aleph]

Le sens ordinaire n'a pas grande valeur  en mathématique et encore moins lorsqu'il s'agit des suites divergentes.

En mathématiques, le contexte est roi ! hors contexte point de salut

[Spontz]

{1,1,1,1,1,1,1,...} = {?,?,?,?,?,?,...}
Bonjour à vous.

Deux remarques sur ce qui a été dit.

Tout d’abord je confirme ce que dit Aleph, il s’agit bien d’une arnaque de comptoir. Simplement dans l’usage du terme « addition ». Lorsqu’on a une infinité de termes, on ne peut pas utiliser l’opération d’addition pour la simple et bonne raison que l’addition est une opération sur deux termes. Comme déjà évoqué, on parle ici de somme de Ramanujan. Ce ne sont pas des additions, encore une fois, et typiquement, lorsqu’on veut faire de la pédagogie et pas de l’arnaque de comptoir, on n’utilise pas le même symbole que celui de l’addition (+) pour éviter toute confusion.

Sinon pour en revenir au sujet initial, c’est dur de répondre car le vocabulaire n’est pas défini. Qu’est-ce que l’ensemble {1,1,1,1,1,…} ? Car si on utilise la théorie des ensembles habituelle cet ensemble est tout sauf de cardinal infini : il est équivalent à {1} donc a un cardinal de 1 ! Et puis c’est quoi une division d’un ensemble ? Pour qu’on vous aide sur votre question, il faut définir ces nouveaux concepts, et alors tous les « loups » seront levés, soyez en convaincus (sinon, j’essayerais de vous en convaincre !).

A+

[Bulle]

Merci Spontz pour ta proposition de partage de connaissances