Les fondements des mathématiques

[spoirier]

Mon plus gros travail porte sur les fondements des mathématiques (voir par là les documents au format pdf) : parti d'un panorama des théories de haut niveau connues en ce domaine, je me suis efforcé d'en extraire et affiner les idées essentielles, et de les ordonner en forme de reconstruction intégrale des mathématiques à partir du strict minimum (sans même admettre l'existence d'un ensemble des nombres entiers !), de la manière la plus dense possible en idées profondes (réduisant toute longueur inutile et élargissant les perspectives).
Il s'agit en effet d'une profondeur très philosophique et métaphysique, sauf qu'il s'agit d'une métaphysique (presque) entièrement mathématisée (ou du moins mathématisable), et visant à décrire uniquement la nature de l'univers abstrait des mathématiques (excluant donc toute considération de la conscience ou de l'univers physique); et des "problèmes métaphysiques" peuvent être explicitement résolus par des théorèmes, en particulier le théorème de complétude garantissant, pour chaque théorie non-contradictoire, l'existence d'un univers d'objets qu'elle décrit.
Or, malgré cette restriction, de troublantes ressemblances apparaissent avec certains caractères de la conscience: les univers mathématiques pourraient en quelque sorte se concevoir eux-mêmes et être assujettis au passage du temps ! mais toujours en un sens purement abstrait et mathématique.
C'est par cette temporalité même que s'éclaire le paradoxe de Russell, qu'on peut énoncer "la classe de tous les ensembles n'est pas un ensemble", en expliquant la différence entre les notions d'ensemble et de classe (notamment, que les ensembles sont des objets tandis que les autres classes n'en sont pas, car contrairement aux ensembles, une classe est conçue comme restant potentiellement capable de contenir des éléments qui n'existent pas encore !).

Le résultat est une nouvelle formulation de la théorie des ensembles mieux adaptée au démarrage des mathématiques et plus directement proche de la pratique ordinaire des mathématiques (tandis que l'axiomatique traditionnelle ZF ne l'intègre qu'à travers diverses conventions d'abréviations, et convient davantage aux besoins des chercheurs de haut niveau, sa validité dépendant de raisons difficiles nécessitant un certain travail de justification, du moins si on veut tout justifier correctement).
Le travail est encore incomplet (et est pour le moment suspendu) mais déjà un bon début est au point. Attention: quoique ne nécessitant en toute rigueur aucun prérequis, c'est du costaud !!!!

[_Coeur de Loi]

Les mathématiques, c'est une façon objective de décrire le monde.

C'est utilitaire.

[Escape]

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Je vais regarder cela.

Pour éditer votre livre, l'idéal est également un bon outil de mise en page

À la place de << valide >>, je dirais << bien-formé >>

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[Invité]

J'ai parcouru le début du texte (trop long) suffisant pour constater son incohérence épistémologique incompatible avec la démarche scientifique.

La méthode scientifique commence par l'observation des phénomènes, la seconde étape est la formulation d'une hypothèse sous forme d'un algorithme mathématique, la troisième est l'expérimentation pour confirmer ou infirmer l'hypothèse.
Si l'hypothèse est infirmée il faut formuler un autre algorithme. Si elle est confirmée elle devient une théorie. Mais toute théorie est susceptible d'être réfutée, donc provisoire.

La mathématique est un outil souple au service de la physique qui contient très peu d'axiomes et constantes. Elle n'est ni une réalité physique ni même une théorie mais un instrument aux mains du physicien pour formuler rigoureusement sa théorie. Elle peut être modelée et remodelée selon la théorie que le physicien veut prouver.

D'autre part l'historien des sciences Gerald Holton a mis en évidence par l'étude des notes personnelles des physiciens importants qu'avant toute formulation mathématique d'une théorie il y a un travail intellectuel sur des principes épistémologique et une intuition plus imaginaire et géométrique que rationnelle.(selon Nicolescu dans "Nous, la particule et le monde")

Les physiciens avaient de vives discussions épistémologiques au début du XXème siécle concernant la RG et la dualité particule/onde. C'est seulement depuis le compromis de Copenhague en 1927 qui mit fin aux discussions et contestations qu'il fut décidé que seule l'observation mesurée soit considérée comme réelle et que la physique est devenue une discipline essentiellement mathématique, dont le seul critère est la prédictibilité et l'utilité, s'émancipant de toute réflexion et compréhension philosophique de l'univers.

Mais les problèmes épistémologique demeurent et réapparaissent aujourd'hui face à l'incohérence de certaines théories invalidées par de nouvelles observations et expériences. Beaucoup de chercheurs indépendants ne peuvent s'exprimer que sur internet. L'un d'eux, Micalef, philosophe des sciences, soulève le problème épistémologique dès sa page d'accueil:

Depuis son origine Galiléenne (la nature parle le langage de la mathématique), un savoir acquiert le statut de science s'il se base principalement sur un appareillage formel qui présente toutes les qualités de l'objectivité et de l'opposabilité. Le critère de vérité pour une science est l'expérimentation à partir de laquelle s'extrait la formule mathématique générale afin de prévision et de reproduction du phénomène. Cette définition originelle condamnait la science physique à s'éloigner toujours plus de l'étude des propriétés des objets en s'en tenant à celles des quantités extraites, de leurs rapports et de leur mesure. Certains succés (le positron) ont laissé croire que des d'objets physiques nouveaux pouvaient s'extraire directement des équations, comme si la mathématique permettait seule de dévoiler toutes les lois de l'univers et que la cohérence formelle obtenue reflétait très exactement la cohérence du réel.
Cependant, par cette formalisation, la physique a connu d'indéniables succès mais rencontre aujourd'hui ses limites par un usage quasi exclusif de ce langage formel au détriment d'un réexamen de ses lois et concepts fondateurs à partir desquels seulement il est possible de développer une mathématique.
Les sciences physiques contemporaines sont donc victimes d'un double mouvement de fuite devant le réel et d'un basculement d'une partie essentielle de leur corpus vers l'abstraction: délaissement des propriétés de l'objet au profit de leur mesure, recherche de la cohérence des lois mathématiques au détriment de celle des lois physiques rationnelles. Cette "maladie" de la science a atteint son apogée avec la physique quantique mais également en cosmologie avec la théorie du big bang. Les physiciens ne comprennent pas certaines propriétés des phénomènes étudiés et se condamnent à toujours plus d'abstraction en construisant des théories et des objets physiques qui n'ont de cohérence que mathématique sans traduction possible dans " le monde réel".
En réaction, les nouveaux principes de physique se présentent comme une tentative rigoureuse pour repenser la base philosophique des principaux concepts de la science physique.
Ils sont complémentaires des physiques classique relativiste et quantique dont ils ne contredisent pas les acquits expérimentaux ni l'architecture mathématique mais proposent leur insertion dans un cadre d'interprétation différent. Ils posent les fondements d’une nouvelle mécanique générale à partir de la définition a priori des conditions de possibilité du mouvement.
Ils décrivent les propriétés et le fonctionnement des objets physiques pour en construire une représentation cohérente de telle sorte que chaque phénomène obéisse à des lois générales qui sont celles par lesquelles l'Univers s'assure, peut être et devenir.
Ils s’étendent de la physique des particules à la cosmophysique.

[spoirier]

À la place de << valide >>, je dirais << bien-formé >>

Le problème est que "bien-formé" évoque une affaire purement syntaxique, or dans le cas de la théorie des ensembles, toute la nécessité de discuter de questions de "validité" repose sur le fait que ce n'est pas une affaire uniquement syntaxique, mais dépend des valeurs des variables libres, comme pour "f(x)" qui dépend de l'appartenance de x au domaine de définition de f.

En réponse à patanjali: l'objection repose sur une conception étroite et dogmatique de la démarche scientifique, qui est généralement inapplicable aux mathématiques (c'est ça, banissons les mathématiques pures du champ de la science car elles ne reposent pas sur la méthode expérimentale ), ni à grand-chose d'ailleurs, mais qui ne me semble au mieux qu'une conception promue par une école de philosophie, qui prétend juger et interpréter la science sans vraiment la comprendre... et si on veut ne faire de la physique qu'avec un formalisme mathématique sale, réduit à un simple "outil" faute de s'y intéresser pour lui-même, eh bien... je ne vois même pas comment comprendre grand-chose à la physique dans ces conditions. Juste un peu de mécanique classique, probablement. Et encore, même la mécanique classique mérite une belle forme mathématique.

[_Coeur de Loi]

La science vient des maths, les maths viennent de la logique, la logique vient de l'esprit.

[Jipé]

La science vient des maths, les maths viennent de la logique, la logique vient de l'esprit.

et l'esprit vient d'où?

[_Coeur de Loi]

L'esprit vient de la vie, la vie vient d'un mystère.

[Jipé]

L'esprit vient de la vie, la vie vient d'un mystère.

ah bon?! tu ne dis plus que la vie vient de dieu ? Il ne l'a donc pas créé...je suis d'accord!

[_Coeur de Loi]

C'est un mystère, c'est chacun selon ses croyances.

Les gens ont le droit de croire au hasard s'ils ne croient pas en Dieu.

[spoirier]

Beaucoup de chercheurs indépendants ne peuvent s'exprimer que sur internet.

Dans bien des cas, il y a d'excellentes raisons à cela. A savoir, que leurs travaux ne valent pas un clou. Ce que les physiciens voient en général immédiatement, contrairement à certains philosophes. De ces deux groupes idéologiquement opposés sur la nature même de la connaissance, lequel voit juste, et lequel est idiot ?
C'est simple: si les philosophes savent mieux discerner que les physiciens "officiels" quelles recherches en physique sont les plus prometteuses, alors, chiche ! qu'ils entreprennent eux-mêmes de monter de nouvelles start-up de recherche-développement mieux gérées ! on verra quelles nouvelles technologies il en sortira, qui leur apportera fortune.

Voir de plus amples commentaires par ici ou par là, ou encore plus récemment en anglais.

[AC*]

Il s'agit en effet d'une profondeur très philosophique et métaphysique, sauf qu'il s'agit d'une métaphysique (presque) entièrement mathématisée (ou du moins mathématisable), et visant à décrire uniquement la nature de l'univers abstrait des mathématiques (excluant donc toute considération de la conscience ou de l'univers physique); et des "problèmes métaphysiques" peuvent être explicitement résolus par des théorèmes, en particulier le théorème de complétude garantissant, pour chaque théorie non-contradictoire, l'existence d'un univers d'objets qu'elle décrit.
Or, malgré cette restriction, de troublantes ressemblances apparaissent avec certains caractères de la conscience: les univers mathématiques pourraient en quelque sorte se concevoir eux-mêmes et être assujettis au passage du temps ! mais toujours en un sens purement abstrait et mathématique.

-Malheureusement, Spoirier, bien que je n'aie aucunement votre niveau mathématique,
les mathématiques ne peuvent aucunement considérer quelque chose comme vrai, si elles ne s'en réfèrent pas à la réalité (physique).

Concernant les axiomes, vous avez bien fait a priori de les écarter, car l'ensemble des axiomes de géométrie - "une partie de maths" - donne - à en croire mon professeur d'analyse - un tout non cohérent, ce qui ne m'étonne guère quand on suppose après les combinaisons de ceux-ci qu'une "hypothèse est vraie" !

Enfin, si cela peut vous rassurer sur le suspens de votre travail:
C'est le Manhattan Project des mathématiques, que vous faites à vous tout seul, là !
Donc n'oubliez pas, que si les Bourbaquis n'ont pas fini depuis des décennies, vous avez très peu de chances de terminer ce travail de titan à vous seul ! (C'est qui, qui a validé votre sujet ?)

P.S.:
Et je vais confirmer en plus court ce que disait ce cher Invité - dommage qu'il ne revienne plus - car au vu de ses post, c'était un Ponte de la philosophie.
Contrairement à la bêtise d'un post plus haut, je ne crois pas que la science vienne des maths.
Le venue des maths dans la science fut une grande bénédiction, mais aussi une grande malédiction. Sous prétexte que c'est "mathématiquement beau", alors une idée acquiert de la crédibilité. C'est complètement ridicule. Comment l'esprit humain pourrait-il dicter chacune de ses idées à la physique ?